Introdução Ao Estudo Dos Sólidos Geométricos

Os sólidos geométricos são encontrados nas diferentes formas existentes ao nosso redor. Uma caixa de sapatos, a caixa de leite, uma pirâmide, uma lata de leite em pó, a casquinha de um sorvete, o chapeuzinho de aniversário entre outros, são considerados sólidos geométricos.

Quando examinamos as formas tridimensionais idealizadas pela Geometria, estamos observando sólidos geométricos.

Os sólidos geométricos mais simples podem ser de dois tipos:

Corpos Redondos: são sólidos geométricos cujas superfícies têm ao menos uma parte que é arredondada (não plana). Veja os exemplos:

Poliedros: são sólidos geométricos cujas superfícies são formadas apenas por polígonos planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos etc.) A palavra poliedro vem do grego antigo, em que poli significa “vários” e edro, “face”. Veja alguns exemplos de poliedros:

Em um poliedro podemos distinguir: faces (polígonos planos), arestas (quinas) e vértices (pontas). Observe a figura abaixo:

SÓLIDOS PLATÔNICOS

Os sólidos platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.

São esse os cinco sólidos denominados sólidos de Platão ou sólidos Platônicos.

FÓRMULA OU RELAÇÃO DE EULER

A relação de Euler estabelece uma correspondência entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro. O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) encontrou uma relação entre os vértices, arestas e faces de qualquer poliedro convexo.

V + F = A + 2

Em particular, a fórmula de Euler também é verificada para os cinco poliedros regulares convexos (sólidos platônicos), como podem constatar através das próximas tabelas.

Vamos utilizar a Fórmula de Euler para preencher a tabela abaixo:

Para preencher a coluna nas arestas fazemos o seguinte cálculo lembrando que cada aresta une duas faces, por isso o resultado será dividido por 2:

Para preencher a coluna dos vértices utilizamos finalmente a Fórmula de Euler:

OUTROS EXEMPLOS:

Exemplo 1

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.

V + F = A + 2

6 + F = 10 + 2

F = 12 – 6 = 6

Exemplo 2

Determine o número de vértices de uma pirâmide quadrangular sabendo que ela possui 5 faces e 8 arestas:

V + F = A + 2

V + 5 = 8 + 2

V = 10 – 5 = 5

Exemplo 3

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro.

V + F = A + 2

x + x = 22 + 2

2x = 24

x = 24 ÷ 2 = 12

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

QUESTÃO 01:O sólido abaixo representa um prisma retangular, ou paralelepípedo.

Juliana encontrou que o número de vértices, arestas e faces é, respectivamente,

A) 7, 9 e 3.
B) 8, 9 e 3.
C) 8, 12 e 6.
D) 6, 8 e 4.
E) 6, 8 e 4.

Contando temos:

4 vértices em cima + 4 vértices embaixo = 8 vértices

4 arestas em cima + 4 arestas laterais + 4 arestas embaixo = 12 arestas

1 face retangular embaixo + 1 face retangular em cima + 1 face retangular na frente + 1 face retangular atrás + 1 face quadrada do lado direito + 1 face quadrada do lado esquerdo = 6 faces

QUESTÃO 02: Sabendo que um poliedro convexo possui 4 faces e 6 arestas, podemos afirmar que o número de vértices é:

A) 3
B) 4
C) 8
D) 10
E) 24

V + F = A + 2

V + 4 = 6 + 2

V = 8 – 4 = 4

QUESTÃO 03: O icosaedro é um poliedro que possui vinte faces e doze vértices.

Esse poliedro é formado por quantas arestas?

A) 6
B) 10
C) 30
D) 32
E) 34

V + F = A + 2

12 + 20 = A + 2

32 – 2 = A

30 = A

QUESTÃO 04: Um colar possui um pingente que no formato de um poliedro que tem 6 vértices e 12 arestas. Qual é o números de faces desse pingente?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 20

V + F = A + 2

6 + F = 12 + 2

F = 14 – 6 = 8

QUESTÃO 05: Um poliedro convexo tem 6 vértices. De cada vértice partem 4 arestas. Quantas faces tem esse poliedro?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 20

6 × 4 = 24

24 ÷ 2 = 12

V + F = A + 2

6 + F = 12 + 2

F = 14 – 6 = 8

QUESTÃO 06: A figura abaixo mostra um poliedro regular formado por 20 faces triangulares.

Quantos vértices tem esse poliedro?

A) 8
B) 9
C) 12
D) 30
E) 42

20 × 3 = 60

60 ÷ 2 = 30 arestas

V + F = A + 2

V + 20 = 30 + 2

V = 32 – 20 = 12

Observe que nos Corpos Redondos não conseguimos identificar o número de vértices, arestas e faces.

Segue uma tabela com os mais conhecidos:

PLANIFICAÇÃO DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Todos os sólidos são formados pela união de figuras planas, as quais podem ser identificadas por meio da planificação.

PRISMA

Na planificação de todos os prismas sempre aparecerão o mesmo polígono nas duas bases (tampa e fundo) e retângulos laterais. A quantidade de retângulos laterais será sempre igual a quantidade de lados do polígono das bases.

PRISMA RETANGULAR OU PARALELEPÍPEDO E SUA PLANIFICAÇÃO

PRISMA TRIANGULA E SUA PLANIFICAÇÃO

PIRÂMIDE

Na planificação de todas as pirâmides sempre aparecerá o polígono da única base (fundo), que normalmente é uma figura diferente das outras e triângulos laterais. A quantidade de triângulos laterais será sempre igual a quantidade de lados do polígono da base.

PIRÂMIDE QUADRANGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO