Termo Médio e Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética

Propriedades de uma Progressão Aritmética

1ª propriedade: (termos equidistantes dos extremos) 

Numa P.A. finita, de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que:

Os termos a₂ = 10 e a₄ = 14 estão equidistantes dos extremos a₁ e a₅, respectivamente.

Note que: 10 + 14 = 8 +16 = 24 .

2ª propriedade:

Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os extremos. 

Exemplo: 
 

3ª propriedade 

A sequência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre a e c, isto é:

Soma dos Termos de uma PA Finita

            Observe a sequência dos 100 primeiros números naturais positivos. Trata-se de uma P.A. de razão 1.

            Quando Gauss tinha 9 anos seu professor pediu em uma aula que os alunos somassem todos os números de 1 a 100. Alguns minutos depois Gauss lhe entregou somente o resultado. Só ele na turma acertou.

            Os estudiosos acreditam que Gauss deduziu a fórmula para a soma de uma P.A. da seguinte maneira.

(I)        S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 98 + 99 + 100

(II)       S = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ... + 3 + 2 + 1

            2S = 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101

            2S = 101´100

            2S = 10100

            S =

         S = 5050

            Então a soma dos termos de uma P.A finita qualquer, pode ser expressa pela seguinte fórmula:

Exemplo 01: Qual é a soma dos números pares de 2 a 100?

Exemplo 02: Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
 

Exercícios:

1) Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...).

2) Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas? 

3) Um quiosque que serve açaí ficou aberto durante 10 horas consecutivas. Na primeira hora foram vendidos 15 açaís, na segunda hora foram vendidos 19 açaís, na terceira hora 23 açaís e assim sucessivamente, ou seja, a cada hora o número de açaís vendidos aumentava em 4 unidades em relação ao número de açaís vendidos na hora anterior.

Dessa forma, quantos açaís, no total, foram vendidos nessas 10 horas que o quiosque permaneceu aberto nesse dia?

4) Encontre o termo médio de uma PA em que o 1º termo é 2 e o 15ª termo é 44.

5) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 31).

6) Quantos múltiplos de 4 com 4 algarismos existem?

7) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000. 

8) Sabe-se que, numa PA, . Determine-a


9)  Qual é a razão da PA que se obtém inserindo-se 8 termos entre 5 e 68?

10) (ENEM 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano	Projeto da Produção (t)
2012	50,25
2013	51,50
2014	52,75
2015	54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de:          a) 497,25.       b) 500,85.       c) 502,87.        d) 558,75.       e) 563,25.