Progressão Aritmética P.A.

Progressão aritmética é um tipo de sequência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa sequência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a₁ = 5
a₂ = 5 + 2 = 7
a₃ = 7 + 2 = 9
a₄ = 9 + 2 = 11
a₅ = 11 + 2 = 13
a₆ = 13 + 2 = 15
a₇ = 15 + 2 = 17

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que:

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r

a₃ – a₂ = r → a₃ = a₂ + r → a₃ = a₁ + r + r = a₁ + 2r

a₄ – a₃ = r → a₄ = a₃ + r → a₄ = a₁ + 2r + r = a₁ + 3r

…

a n = a₁ + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

Exemplo 1: Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a₁ = -10 e r = 3.

an = a₁ + (n – 1) . r

a₁₆ = -10 + (16 – 1) . 3

a₁₆ = -10 + 15 . 3

a₁₆ = -10 + 45

a₁₆ = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

Exemplo 2:Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:

a) o termo geral dessa PA;

b) o seu 15° termo;

c) a soma a₁₀ + a ₂₀.

Exercícios: 

1) Que número ocupa a 700ª posição na PA seguinte?

(3, 7, 11, …)

2) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6. Qual é a posição ocupada pelo elemento -13?

3) Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações mensais deve ser igual, e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano. 

4) (ENEM 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir:

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?

a) C = 4Q.      b) C = 3Q + 1.            c) C = 4Q – 1             d) C = Q + 3.              e) C = 4Q – 2.